Question

将函数的图形向右平移个单位后得到的图像，已知的部分图像如图所示，该图像与y轴相交于点，与x轴相交于点P、Q，点M为最高点，且的面积为.

（1）求函数的解析式；

（2）在中，分别是角A，B，C的对边，，且，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先将的图象向右平移个单位得到的解析式，由解析式得最大值M=2，利用三角形面积公式可得到，而周期，利用周期的计算公式得到，又因为过，代入解析式得到的值，从而得到的解析式；第二问，先利用，利用特殊角的三角函数值得到角A的大小，再利用余弦定理得到b和c的一个关系式，利用基本不等式得到，代入到三角形面积公式中，得到面积的最大值.

（1）由题意可知

由于，则，∴，即 2分

又由于，且，则，∴ 5分

即． 6分

（2），则，∴ 8分

由余弦定理得，∴ 10分

∴，当且仅当时，等号成立，故的最大值为． 12分

考点：三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式.