Question

如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，

.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得，，所以利用线面平行的判定得平面，再利用线面垂直的性质，得；第二问，利用和中的边长和角的关系，得到，由于，所以平面，所以利用线面垂直的性质得，利用线面垂直的判定得平面，由于平面平行平面，所以得到平面，所以是三棱锥的高，最后利用三棱锥的体积公式计算.

（1）证明：∵底面和侧面是矩形，

∴，

又∵

∴平面 3分

∵平面∴ ． 6分

（2）解法一：

， ，

∴△为等腰直角三角形，∴

连结，则，且

由（1）平面，∴平面

∴

∴平面

∴平面 9分

∴． 12分

解法二：

∵,且

∴在△中，，，得 9分

∴三棱锥的体积：

． 12分

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.