Question

（本小题满分12分）

已知直线： 和椭圆，椭圆C的离心率为，连结椭圆的四个顶点形成四边形的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与椭圆C有两个不同的交点，求实数m的取值范围；

（3）当时，设直线与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，求线段PM长度的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）||取得最大值.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、两点间的距离公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的标准方程，利用离心率求出基本量a和b，从而得到椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，由于直线与椭圆交于2个点，所以消参后的方程的判别式大于0，解不等式求出m的取值范围；第三问，将m=2代入，直接得到直线的方程，从而得到p点坐标，设出p点坐标，则利用两点间距离公式可求出，利用点M在椭圆上，转化x，通过配方法求函数的最值.

（1）由离心率，得

又因为，所以，

即椭圆标准方程为． 4分

（2）由 消得：．

所以， 可化为

解得． 8分

（3）由l：,设， 则, 所以 9分

设满足,

则|

因为 ， 所以 11分

当时，||取得最大值． 12分

考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、两点间的距离公式、配方法求函数最值.