Question

已知函数.

（1）当时，证明：当时，；

（2）当时，证明：.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.

(1)时，，

令，，∴在上为增函数 3分

，∴当时，，得证． 6分

(2)

令，，时，，时，

即在上为减函数，在上为增函数 9分

∴ ①

令，，

∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数

∴ ②

∴由①②得 ． 12分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.