Question

已知函数

(1).求函数f(x)的单调区间及极值;

(2).若x₁≠x₂满足f(x₁)=f(x₂),求证：x₁＋x₂＜0

Answer

（1）的增区间是，减区间是，在处取得极小值，无极大值；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查函数的单调性、函数的极值、不等式证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能能力以及分类讨论思想和等价转化思想的应用．第一问，对求导，利用单调递增，单调递减，判断函数的单调性，利用函数的单调性判断函数的极值；第二问，构造新函数，利用的正负，判断函数的单调性，求出最小值，得到，即，利用的单调性，比较2个自变量的大小.

试题解析：（1）∵，

∴当时，；当时，.

则的增区间是，减区间是.

所以在处取得极小值，无极大值. 6分

（2）∵且，由（1）可知异号.

不妨设，，则.

令=， 8分

则，

所以在上是增函数. 10分

又，∴，

又∵在上是增函数，

∴，即. 12分

考点：函数的单调性、函数的极值、不等式证明.