Question

如图，直三棱柱中， ，   ，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．

（1）若∥平面，求；

（2）平面将三棱柱分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、补体法、几何体的体积公式等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，取BC中点，由中位线及平行线间的传递性，得到∥∥，即四点共面，利用线面平行的性质，得∥，从而得到E是CN中点，从而得到的值；第二问，利用直三棱柱，得平面，由，利用线面垂直的判定，得平面，利用补体法求几何体的体积，分别求出较小部分和较大部分的体积，再求比值.

试题解析：取中点为，连结， 1分

∵分别为中点

∴∥∥，

∴四点共面， 3分

且平面平面

又平面，且∥平面

∴∥

∵为的中点，

∴是的中点， 5分

∴． 6分

（2）因为三棱柱为直三棱柱，∴平面，

又，则平面

设，又三角形是等腰三角形，所以.

如图，将几何体补成三棱柱

∴几何体的体积为：

9分

又直三棱柱体积为： 11分

故剩余的几何体棱台的体积为：

∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：． 12分

考点：线性平行、线面平行、线性垂直、线面垂直、补体法、几何体的体积公式.