Question

已知抛物线：的焦点为，若过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点,且．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线为抛物线的切线，且∥,为上一点，求的最小值．

Answer

（1）；（2）-14.

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积等基础知识，考查学生的数学结合思想、分析问题解决问题的能力、转化能力.第一问，由抛物线的标准方程得焦点F的坐标，再利用点斜式写出直线方程，由于它与抛物线相交，所以直线方程与抛物线方程联立，消参，利用韦达定理、得到M、N的两个横坐标的和，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先设出直线的方程，由于是抛物线的切线，所以2个方程联立，得到x的方程后，方程的判别式等于0，解出b的值，从而得到直线方程，设出p点坐标，结合第一问得出和坐标，利用向量的数量积化简表达式，使之转化为关于m的式子，再利用配方法求最值.

试题解析：（1）由题可知，则该直线方程为：， 1分

代入

得：，设，则有 3分

∵，∴，即，解得

∴抛物线的方程为：． 5分

(2)设方程为，代入

，得，

因为为抛物线的切线，∴，

解得，∴ 7分

由（1）可知：，

设，则

所以

，，

，，

，∴

10分

当且仅当时，即点的坐标为时，的最小值为． 12分

考点：抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积