Question

已知函数，．

（1）若函数在处取得极值，求的值；

（2）若函数的图象上存在两点关于原点对称，求的范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和函数思想.第一问，由于在处取得极值，所以是的根，所以对求导，解，得出a的值，但是需要验证是否符合题意；第二问，先将“的图象上存在两点关于原点对称”转化为“存在图象上一点，使得在的图象上”，即转化为“同时成立”，联立消参，即转化为“，即关于的方程在内有解”，下面证明与有交点.

试题解析：（1）当时，， 2分

∵在处取得极值

∴，即

解得：，经验证满足题意，∴． 5分

的图象上存在两点关于原点对称，

即存在图象上一点，

使得在的图象上

则有

8分

化简得：，即关于的方程在内有解 9分

设，则

∵

∴当时，；当时，

即在上为减函数，在上为增函数

∴，且时，；时，

即值域为 11分

∴时，方程在内有解

∴时，的图象上存在两点关于原点对称． 12分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值