Question

如图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于，两点，且、、三点互不重合．

（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．

Answer

（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意及列方程组可得的值。即可得此椭圆方程。（2）设出的坐标及直线的方程与椭圆方程联立消掉可得关于的方程，根据题意可知判别式应大于0，根据韦达定理可得此方程的两根之和与两根之积。即点横坐标间的关系，代入直线方程，可得点纵坐标之间的关系。然后根据斜率公式可得斜率之和，将其化简问题即可得证。

试题解析：由题意，可得，代入

得，又， 2分

解得，，，

所以椭圆的方程. 5分

(2)证明：设直线的方程为，又三点不重合，∴，设，，

由得

所以

① ② 8分

设直线，的斜率分别为，，

则

(*) 10分

将①、②式代入(*)，

整理得，

所以，即直线的斜率之和为定值. 12分

考点：1椭圆的标准方程；2直线和圆锥曲线的位置关系问题；3定值问题。