Question

已知函数在处切线为.

（1）求的解析式；

（2）设，，，表示直线的斜率，求证：.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）将切点代入切线方程可得。由切线方程可知切线的斜率为1，根据导数的几何意义可得。解方程组即可求得的值。从而可得的解析式。（2）可将问题转化证，因为所以即证，分别去证和。再证这两个不等式时均采用构造函数求其最值的方法证明即可。用其他方法证明也可。

试题解析：（1），，∴由得 3分

把代入得，即，∴

∴. 5分

（2）『证法1』：

证明：由（1）∴证明即证

各项同除以，即证 8分

令，则，这样只需证明即

设,,

∵，∴，即在上是增函数

∴，即 10分

设，

∴在也是在增函数

，即

从而证明了成立，所以成立. 12分

『证法2』：

证明：等价于

即 8分

先证，

问题等价于，即

设，则

∴在上是增函数，

∵，∴，∴，

得证. 10分

再证，

问题等价于，即

设，则

∴在上是减函数，

∵，∴，∴，

得证.综上，. 12分

考点：1导数的几何意义；2用导数研究函数的单调性。