Question

已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，问：△的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

Answer

（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据点在曲线上可代入方程，再根据椭圆中，解方程组可得的值。从而可得椭圆方程。法二，还可根据椭圆的定义椭圆上点到两焦点的距离为直接求得，再根据求。（2）设的方程为，根据与圆相切可得间的关系。再将直线与椭圆方程联立消掉整理为关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。由直线与圆锥曲线的相交弦公式可得，再根据两点间距离可求，将三边长相加，根据前边得到的间的关系问题即可得证。

试题解析：（1）『解法1』：

(1)由题意，得，2分

解得4分

∴椭圆方程为.5分

『解法2』：

右焦点为，

左焦点为，点在椭圆上

所以，

所以椭圆方程为5分

（2）『解法1』：

由题意，设的方程为

∵与圆相切

∴，即6分

由，得7分

设，则，8分

∴

10分

又

∴11分

∴（定值）12分

『解法2』：

设 ，

8分

连接，由相切条件知：

10分

同理可求

所以为定值.12分

考点：1椭圆的标准方程；2直线和圆锥曲线的相交弦问题；3直线和圆的位置关系。