Question

已知函数．

（1）求的单调区间和极值；

（2）设，，且，证明：.

Answer

（1）单调增区间是，单调减区间是；极小值，无极大值。（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求导，再令导数大于0的函数的增区间，令导数小于0得函数的减区间，根据函数的单调性可得函数的极值。（2）即证，不妨设，问题可转化为，令，令，用导数求其最值，证其最大值小于0即可。

试题解析：（1）定义域为

令则 ∴；令则 ∴

∴的单调增区间是，单调减区间是

极小值，无极大值

（2）证明：不妨设，

两边同除以得，

令，则，即证：

令

令，

， 在上单调递减，所以

即，即恒成立

∴在上是减函数，所以

∴得证

所以成立

考点：利用导数研究函数的单调性和极值最值问题。