Question

已知椭圆C的两个焦点是)和，并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．

（1）求椭圆C和抛物线E的标准方程；

（2）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，求的最小值．

Answer

（1）椭圆C的标准方程为，抛物线E的标准方程为．（2）有最小值为16．

【解析】

试题分析：（1）由于椭圆上任意一点到焦点的距离都等于,所以，

，由此即得椭圆的标准方程．椭圆右顶点F的坐标为(1，0)，所以抛物线E的标准方程为．（2）设，，，，则

.再设l1的方程：，l2的方程，用韦达定理将上式表示为即可求得其最小值.

试题解析：（1）设椭圆的标准方程为(a>b>0)，焦距为2c，

则由题意得c=，，

∴，

∴椭圆C的标准方程为． 4分

∴右顶点F的坐标为(1，0)．

设抛物线E的标准方程为，∴ ，

∴抛物线E的标准方程为． 6分

（2）设l1的方程：，l2的方程，

，，，，

由消去y得：，

∴．

由消去y得：，

∴ 9分

∴

．

当且仅当即时，有最小值16． 13分

考点：1、椭圆与抛物线的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.