Question

已知．

（1）当时，求的最大值；

（2）求证：恒成立；

（3）求证：．（参考数据：）

Answer

（1）的最大值为0；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）设，求导利用单调性即可得其最大值；.

（2）由（1）得， ，变形即得左边的不等式：.右边不等式显然不宜直接作差，故考虑作适当的变形.为了证右边，设.求导得.的符号还不能直接确定.为了确定的符号，再设，求导得，所以即由此可知即，从而原命题得证；（3）首先看看所证不等式与第（2）题有何联系.对照待证不等式，可将（2）题中的不等式变形为：.显然取，得.右边易证如下：；左边则应考虑做缩小变形.由于左边为，故将缩为一个等差数列.因为，所以考虑把缩小为.

当时， ，这样累加，再用等差数列的求和公式即可使问题得证.

试题解析：（1）设，则

，

所以在区间内单调递减，故的最大值为； （4分）

（2）由（1）得，对，都有，即，

因为，所以. （6分）

设，则

.

设，则，

所以在区间内单调递增，故即.

所以在区间内单调递增，故即，

因为，所以.

从而原命题得证. （9分）

（3）由（2）得，，

令，得.

所以； （11分）

另一方面，当时，，

所以

从而命题得证. （14分）

考点：1、导数及其应用；2、不等式的证明.