Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、， 焦距为2，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的动直线交椭圆于A、B两点，判断是否存在直线使得为钝角，若存在，求出直线的斜率的取值范围

Answer

（1）椭圆方程为；（2）存在定点，使以AB为直径的圆恒过点

【解析】

试题分析：(1) 过作垂直于椭圆长轴的弦长为，由此可得，解得，从而可得椭圆的方程 （2）首先考虑直线的斜率不存在的情况 当过直线的斜率存在时，设直线的方程为，设, 由 得： 当为钝角时，，利用韦达定理将不等式化为含的不等式，解此不等式即可得的取值范围

试题解析：(1)依题意 （2分）

解得，∴椭圆的方程为： （4分）

（2）（i）当过直线的斜率不存在时，点，

则,显然不为钝角 （5分）

(ii)当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，

设, 由 得：

恒成立

（8分）

（11分）

当为钝角时，<0，

综上所述,满足条件的直线斜率k满足且 （13分）

考点：直线与圆锥曲线