Question

如图1，在Rt中，， D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求与平面所成角的余弦值；

（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．

Answer

（1）详见解析；（2）直线BE与平面所成角的余弦值为；（3）当时，最大为

【解析】

试题分析：（1）折起之后， 又平面

又平面，由面面垂直的判定定理可得，平面平面

（2）由（1）知，故以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 利用空间向量中直线与平面的夹角公式即可得直线BE与平面所成角的余弦值 （3）利用（2）中的空间坐标可得：，利用二次函数的性质即可得其最大值

试题解析：（1）证明:在△中，

又平面

又平面,又平面,故平面平面 （4分）

（2）由（1）知，故以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 因为，则 5分

，设平面的一个法向量为，

则，取法向量，则直线BE与平面所成角的正弦值：

8分

故直线BE与平面所成角的余弦值为 （9分）

（3）设,则,则，

，

当时，最大为 （12分）

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间直线与平面所成的角；3、空间向量的运用