Question

已知椭圆的两焦点在轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q?若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

Answer

（1）椭圆方程为；（2）存在定点，使以AB为直径的圆恒过点

【解析】

试题分析：（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜边长为2，即，故，由此可得椭圆方程 （2）首先考虑与坐标轴平行的特殊情况，当与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为；当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为，解方程组求出这两个圆的交点：

若存在定点Q,则Q的坐标只可能为

接下来就一般情况证明为所求 设直线，则，将与椭圆方程联立，利用韦达定理得：，代入上式证明其等于0即可

试题解析：（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,

又斜边长为2,即故,

椭圆方程为 （4分）

（2）当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为;

当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为

,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为 （6分）

下证明为所求:

若直线斜率不存在,上述已经证明 设直线,

,

, （8分）

（10分）

,即以AB为直径的圆恒过点 （13分）

注: 此题直接设,得到关于的恒成立问题也可求解

考点：直线与圆锥曲线