Question

已知函数

（1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值；

（3）试证明：（）

Answer

（1）在区间上是减函数；（2）；（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）求导即可知，在区间上是减函数；（2）将代入得在上恒成立，令，则 下面利用导数求出的最小值即可；（3）待证不等式的左边是积的形式，而右边是底数为的一个幂，故考虑两边取自然对数，即原不等式转化为： 注意用（2）题的结果 由（2）可得： 对照所要证明的不等式可知，需令，由此可得：

即

试题解析：（1）由题 （3分）

故在区间上是减函数 （4分）

（2）当时，在上恒成立，取，则， （6分）

再取则 （7分）

故在上单调递增，

而， （8分）

故在上存在唯一实数根，

故时，时，

故故 （9分）

（3）由（2）知：

令，

所以

即 14分

考点：1、导数的应用；2、导数与不等式