Question

已知四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一点，且PA∥平面QBD.

⑴确定Q的位置;

⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

Answer

⑴当时，PA∥平面QBD；⑵二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

【解析】

试题分析：⑴要使得PA∥平面QBD，必须使得平面QBD内有一条直线与PA平行，为了找这条直线，先作过PA与平面QBD相交的平面，只要交线与PA平行即可.⑵由于BC,BA,BP两两垂直，故可以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量进行计算.

试题解析：⑴当时，PA∥平面QBD，证明如下：

连结AC交BD于点M，

∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC

过PA的平面PAC平面QBD=MQ,

∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC. 4分

⑵设BC=1，如图，以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O- xyz(其中点B与点O重合)，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).

∵PQ=2QC，∴

设平而QBD的一个法向量为，

则

取.

又平面CBD的一个法向量为

设二面角Q-BD-C的平面角为，又为锐角

∴

∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值。 12分

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角；3、空间向量.