Question

已知函数f（x）＝x（x＋a）－lnx，其中a为常数.

（1）当a＝－1时，求f（x）的极值;

（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围;

（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y＝f（x）相切？请说明理由.

Answer

（1）f（x）有极小值，无极大值.；（2）；（3）一条。

【解析】

试题分析：（1）利用导函数确定单调区间；（2）f（x）在内单调，则f '（x）在内大于0或者小于0恒成立，由此求a的范围.（3）设出切线方程，根据切线过原点求出切线条数；

试题解析：（1）当a＝－1时，，所以f（x）在区间 内单调递减，在内单调递增.于是f（x）有极小值，无极大值.（4分）

（2）易知在区间内单调递增，所以

由题意可得在内无解，即或，解得

实数a的取值范围是.（8分）

（3）设切点，则切线方程为.

因为过原点，所以，化简得（※）.

设，则，所以在区间内单调递增.

又，故方程（※）有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条.（14分）

考点：函数的导数，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题.