Question

已知函数，下列关于函数（其中a为常数）的叙述中:

①对a∈R，函数g（x）至少有一个零点；

②当a＝0时，函数g（x）有两个不同零点；

③a∈R，使得函数g（x）有三个不同零点；

④函数g（x）有四个不同零点的充要条件是a<0.

其中真命题有________.（把你认为的真命题的序号都填上）

Answer

②④

【解析】

试题分析：因为

其图象如图所示：

设f（x）＝t，问题转化为：当t＜－1或0＜t＜1时，无解；当t＝－1，t＝0或t＝1时，每个t对应x一解；－1＜t＜0或t＞1时，每个t对应x两个解；

令＝t2＋at－1＝0，则:

取a＝，得t1＝－2，t2＝，均无x与之对应，即此时g（x）无零点，①错误；

取a＝0，得t1，2＝±1，对应x1＝2，x2＝0，即此时g（x）有两个零点，②正确；

要使得g（x）恰好有三个不同零点，则t1＝1或t1＝－1，而此时t2∈（－1，0）∪（1，＋∞）

但由于t1t2＝－1，矛盾，故③错误；

当a＜0时，由t2＋at－1＝0，可知t1＋t2＝－a＞0，t1t2＝－1，必有t1∈（－1，0），t2∈（1，＋∞）

对应g（x）有四个不同的零点，反之也然，故④正确.

考点：函数的图象，性质，零点