Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60º，又PA⊥底面ABCD，AB＝2PA，E为BC的中点.

（1）求证:AD⊥PE；

（2）求平面APE与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用线面垂直可以推导线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60º，且E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC∥AD，所以AE⊥AD.又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD.

于是AD⊥平面PAE，进而可得AD⊥PE.（6分）

（2）【解析】
分别以AE、AD、AP为x、y、z轴，设AP＝1，则

，，，.

显然，平面APE的法向量为，设平面PCD的法向量为，则

由解得.所以.

故平面APE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.（12分）

考点：空间几何体的线面关系，二面角，空间向量