Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝1，S_n＝na_n－n（n－1），其中n∈N^*.

（1）求证:{a_n}是等差数列；

（2）求证:a_n• a_n＋1<4S_n；

（3）求证:.

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）将Sn转化为an的关系式，利用等差数列的定义证明；（2）求出an的通项公式，直接证明相应不等式；（3）写出Sn的表达式，适当放缩，化简后得到结论.

试题解析：（1）当n≥2，n∈N*时，由已知Sn＝nan－n（n－1）得Sn－1＝（n－1）an－1－（n－1）（n－2）.

两式相减得Sn－Sn－1＝nan－（n－1）an－1－2（n－1）.又Sn－Sn－1＝an，所以（n－1）an－（n－1）an－1＝2（n－1）.

即an－an－1＝2（n≥2，n∈N*），且a1＝1

所以{an}是以1为首项、2为公差的等差数列. （4分）

（2）由（1）得an＝2n－1，Sn＝n2，n∈N*.

所以an•an＋1＝（2n－1）•（2n＋1）＝4n2－1<4Sn； （8分）

（3）由（2）得，所以

. （12分）

考点：等差数列的通项与前n项和，不等式证明.