Question

已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.

（1）求实数的取值范围；

（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）定点，定值。

【解析】

试题分析：（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.

试题解析：（1）由已知条件知:直线过椭圆右焦点.

当直线与轴重合时，.

当直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.

设，由根与系数的关系得，.

所以.又由得，所以

，解之得.

综上，实数的取值范围是. （7分）

（2）设，则

为定值，所以，解得.

故存在定点，使得为定值.

（经检验，当与轴重合时也成立） （13分）

考点：直线与椭圆的位置关系，平面向量