Question

已知函数f（x）＝x（x＋a）－lnx，其中a为常数.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）问过坐标原点可以作几条直线与曲线y＝f（x）相切？并说明理由；

（3）若在区间（0，1）内是单调函数，求a的取值范围.

Answer

（1）在区间内单调递减，在内单调递增；

（2）一条；（3）

【解析】

试题分析：（1）利用导函数确定单调区间；（2）设出切线方程，根据切线过原点求出切线条数；（3）g（x）在（0，1）内单调，则g'（x）在（0,1）内大于0或者小于0恒成立，由此求a的范围.

试题解析：（1）由得

，（舍去）.

所以f（x）在区间内单调递减，在内单调递增.（3分）

（2）设切点，则切线方程为.

因为过原点，所以，化简得（※）.

设，则，所以在区间内单调递增.又，故方程（※）有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条.（8分）

（3）.

设，则，

显然在区间（0，1）内单调递减.

①当时，，从而在（0，1）内恒成立，即在（0，1）内单

调递增.注意到，所以即在（0，1）内恒成立.

于是在区间（0，1）内单调递减，符合题意.

②当时，，，

从而，使得在 内恒成立，

在内恒成立.即在内单调递增，在内单调递减.

又，所以，又，

所以存在，使得即在内恒成立，

即在内恒成立.

因此在区间（0，1）内既有递减区间，也有递增区间，不符合题意.

综上可知，实数的取值范围是.（14分）

考点：函数的导数，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题.