Question

椭圆:的左顶点为,直线交椭圆于两点(上下),动点和定点都在椭圆上.

(1)求椭圆方程及四边形的面积.

(2)若四边形为梯形,求点的坐标.

(3)若为实数,,求的取值范围.

Answer

(1) ；.(2) . (3) .

【解析】

试题分析：（1）将D的坐标代入即得，从而得椭圆的方程为.

将代入得.由此可得和的面积，二者相加即得四边形的面积.（2）在椭圆中AP不可能平行BC，四边形ABCP又为梯形，所以必有，由此可得直线PC的方程，从而求得点P的坐标.（3）设，由得则与间的关系，即，又因为点P在椭圆上，所以，由此可得，这样利用三角函数的范围便可求得的范围.

（1）因为点D在椭圆上，所以，

所以椭圆的方程为.

易得：，的面积为.

直线BD的方程为，即.所以点A到BD的距离为，，.

所以.

（2）四边形ABCP为梯形，所以，直线PC的方程为：

即.代入椭圆方程得（舍），

将代入得.所以点P的坐标为.

（3）设，则，即

因为点P在椭圆上，所以，

由此可得，

所以.

考点：1、椭圆的方程；2、四边形的面积；3、向量.