Question

已知函数,.

(1)讨论在内和在内的零点情况.

(2)设是在内的一个零点,求在上的最值.

(3)证明对恒有.[来

Answer

(1)在内有唯一零点;在内无零点.(2) 在有最大值;在的最小值.(3)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)首先求导确定在、内的单调性，然后根据零点判定定理确定的零点情况； (2)求导得，所以 在有最大值,又是在内的一个零点，所以在的最大值为.再由(1)的结论知在的最小值应为.由知,于是在的最小值. (3)由(2)知时,有,即

，得，再将左右两边放缩相加即得.

(1)在有唯一零点,易知在单增而在

内单减,且,故在和内都至多有一个零点.

又,

故在内有唯一零点;

再由知在内无零点.

(2)由(1)知在有最大值,

故在有最大值;

再由(1)的结论知在的最小值应为.

由知,于是在的最小值.

(3)由(2)知时,有,即

①

取,则且,将的值代入①中,可得

②

再由,得

③

相仿地,时,,故

④

而时④即,显然也成立.故原不等式成立.

考点：1、导数及其应用；2、不等式的证明.