Question

如图，正方体中，已知为棱上的动点.

（1）求证：；

（2）当为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

(1)详见解析；(2)直线与平面所成角的正弦是.

【解析】

试题分析：(1) 空间中证线线垂直，一般先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面？从图形可看出，可证面. (2)思路一、为了求直线与平面所成角的正弦值，首先作出直线在平面内的射影. 连设,连，可证得面,这样便是直线与平面所成角.思路二、由于两两垂直，故可分别以为轴正向,建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.

试题解析：连设,连.

(1)由面,知,

又, 故面.

再由面便得⊥.

(2)在正中,,而,

又面,平面,且,

故⊥面,于是,为二面角的平面角.

正方体ABCD—中,设棱长为,且为棱的中点,由平面几何知识易得,满足,故.

再由知面,故是直线与平面所成角.

又,故直线与平面所成角的正弦是.

解二.分别以为轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为.

(1)易得.

设,则, ,从而

,于是

(2)由题设,,则,.

设是平面的一个法向量,则,即

于是可取,.易得,故若记与的夹角为,则有,故直线与平面所成角的正弦是.

考点：1、空间的直线与直线垂直；2、空间的直线与平面所成的角.