Question

已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值.

Answer

（1）椭圆C方程是；（2）G的横坐标的值为8.

【解析】

试题分析：（1）由，又点在椭圆上，所以，这样便得一方程组，解这个方程组求出a、b的值，即可得椭圆C的方程；（2）首先考虑直线MN垂直于轴的情况，易得此时交点为，由此可知，点G的横坐标应当为8.当直线MN不垂直轴时，设直线MN：，.由A、N、G三点共线有，由A、N、G三点共线有，有，即，化简，当时化简得.接下来联立直线MN与椭圆方程再用韦达定理代入此等式验证即可.

（1）由，又点在椭圆上，所以解得，则椭圆C方程是； .3分

（2）当直线MN垂直于轴，交点为，

由题知直线AN：，直线MB：，交点 .5分

当直线MN不垂直轴时，设直线MN：，

联立直线MN与椭圆方程得

， .7分

因为，由A、N、G三点共线有

同理，由A、N、G三点共线有

有，即，化简，验证当时化简得带入韦达定理恒成立，因此G的横坐标的值为8. 13分

考点：1、轨迹方程的求法；2、直线与圆锥曲线的关系.