Question

如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，,点H、G分别是线段EF、BC的中点.

（1）求证：平面AHC平面;（2）点M在直线EF上，且平面，求平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值为.

【解析】

试题分析：（1）要证面面垂直，首先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面？结合条件可得，，所以面AHC，从而平面AHC平面BCE.（2）因为AD、AB、AH两两互相垂直，故分别以AD、AB、AH所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量即可求解.

（1）在菱形ABEF中，因为，所以是等边三角形，又因为H是线段EF的中点，所以

因为面ABEF面ABCD，且面ABEF面ABCD=AB，

所以AH面ABCD，所以

在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，，得到，从而，所以，又AHAC=A

所以面AHC，又面BCE，所以平面AHC平面BCE .6分

（2）分别以AD、AB、AH所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则有

设点，则存在实数，使得，代入解得

由（1）知平面AHC的法向量是

设平面ACM的法向量是，则得

所以

即平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值为. 12分

考点：(1)空间直线与平面的关系；（2）二面角.