Question

在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在轴上滑动，点M在线段AB上，且,

（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；

（2）过点的直线与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求面积的最大值.

Answer

（1）C的方程是；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设，则.用定比分点坐标公式可得与之间的关系式，将此关系式代入即得只含的方程，此即M的轨迹方程.（2）首先考虑直线的斜率不存在的情况，即，此时.当直线的斜率存在时，设，，联立，再用韦达定理即得（含k的代数式）.由题知过N的直线，且与椭圆切于N点时，最大，故设

联立与椭圆方程得，此时.的距离即为点N到EF的距离，所以，化简，平方后利用导数可得其最大值.

（1）由题知，设

有代入得，

所以曲线C的方程是 4分

（2）当直线的斜率不存在时，即，此时 5分

当直线的斜率存在时，设，

联立，有.

7分

由题知过N的直线，且与椭圆切于N点时，最大，故设

联立与椭圆方程得，此时

的距离，所以

化简 10分

设，有

，所以函数在上单调递减，当时，函数取得最大值，即时

综上所述 .13分.

考点：1、轨迹方程的求法；2、直线与圆锥曲线的关系；3、利用导数求最值.