Question

已知函数(,为自然对数的底数).

(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；

(2)求函数的极值；

(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.

(注：可能会用到的导数公式：；）

Answer

(1)；(2) 当时,函数无极小值；当,在处取得极小值,无极大值；(3)1．

【解析】

试题分析：（1）依题意，，从而可求得的值；（2），分①时、②讨论，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可求其极值；（3）令，则直线:与曲线没有公共点方程在上没有实数解．分与讨论即可得答案．

试题解析：(1)由,得.

又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得.

(2),

①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.

②当时,令,得,. ,;,.

所以在上单调递减,在上单调递增,

故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.

综上，当时,函数无极小值；当,在处取得极小值,无极大值.

(3)当时,，

令,

则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解.

假设,此时,,

又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.

又时,,知方程在上没有实数解，所以的最大值为.

解法二:

(1)(2)同解法一.

(3)当时,.

直线:与曲线没有公共点,

等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*)，在上没有实数解.

①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.

②当时,方程(*)化为.

令,则有.

令,得,

当变化时,的变化情况如下表:

当时,,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为.

所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是.

综上,得的最大值为.

考点：1．导数的计算；2．导数与极值关系；3．导数的几何意义．