Question

如图一，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：

（1）求两点间的距离；

（2）证明：平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）2；（2）证明详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）取的中点，先证得就是二面角的平面角，再在中利用余弦定理即可求得两点间的距离；（2）欲证线面垂直：平面，转化为证明线线垂直：，，即可；（3）欲求直线与平面所成角，先结合（1）中的垂直关系作出直线与平面所成角，最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值．

试题解析：（1）取的中点，连接，

由，得：，

就是二面角的平面角，．

在中，

．

（2）由，，

，

， 又平面．

（3）方法一：由（1）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角．

方法二：设点到平面的距离为，

∵

于是与平面所成角的正弦为．

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，

则．

设平面的法向量为n，则

n， n，

取，则n， 于是与平面所成角的正弦即

．

考点：1、点、线、面间的距离计算；2、直线与平面垂直的判定；3、直线与平面所成的角；4、空间向量的应用．