Question

已知函数

（1）求函数的单调区间．

（2）若方程有4个不同的实根，求的范围？

（3）是否存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实根？如果存在，求b满足的条件，如果不存在，说明理由．

Answer

（1）增区间为，减区间为；（2）；（3）不存在，理由见详解．

【解析】

试题分析：（1）首先求导函数，然后通过判断的符号可求得单调区间；（2）构造函数，然后利用导数研究函数的取值变化，确定图象的位置，由图象可直观得到函的取值范围；（3）

试题解析：（1）根据定义域后，求导得到，

根据导数和0的关系得到在是函数的增区间；在是函数减区间．

（2）（2）令，求导得，

里面有一个零点和两个断点，所以初步可以得到函数在区间单调增；在区间单调减．

当从负半轴方向趋近于－1时，

当从正半轴方向趋近于－1时，

而且时，，

而且可以很容易得到，函数为偶函数，而且，

另半边的图像就容易模拟得到了，所以有4个不同的实根，结合图像得到．

（本题必须另半边如果不分析必须用奇偶性说明；而且必须说明在断点处的趋势，否则扣2到3分）

（3）结论：这样的正数不存在．

假设存在满足条件的，使得方程存在两个不相等的实根和，然后代入方程，根据其结构利用第（1）问的结论判断出在上的取值及单调性，然后结合假设导出矛盾，作出判断．

假设存在正数，使得方程存在两个不相等的实根和，则

根据定义域知道和都是正数．

根据第1问知道，当时，函数的最小值，

所以，

因为，等式两边同号，所以，所以

不妨设

由（1）（2）可得，

所以，

所以．

因为很容易证明到函数在为恒大于0且为减函数

所以（*）方程显然不成立，因为左边大于1，右边小于1．

所以原假设：存在正数，使得方程存在两个不相等的实根和错误（本题其他证法，请酌情给分）

考点：1、导数与函数的单调性关系；2、探索性问题；3、函数与方程根的关系．