Question

如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点.

（1）若是半径的中点，求线段的长；

（2）设,求面积的最大值及此时的值.

Answer

（1）；（2）当时，取得最大值.

【解析】

试题分析：（1）由得出，在中，利用余弦定理计算长度；（2）要求面积的最大值，需要将面积表示为的函数再求最值，显然可以用正弦的面积公式，注意到已知，故不妨用，接下来分别把表示成的函数，在中利用正弦定理得，同理，利用正弦定理，得，故的面积，运用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式将化为同角三角函数，得，注意的范围是，可得时取最大值1，此时取最大值.

试题解析：(1)在中，,，由

； 5分

（2）平行于，

在中，由正弦定理得，即，

，

又,. 8分

记的面积为，则

=， 10分

当时，取得最大值. 12分

考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算；3、正、余弦定理.