Question

如图，已知平面四边形中，为的中点，，，

且．将此平面四边形沿折成直二面角，

连接，设中点为．

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点；（3）.

【解析】

试题分析：（1）分别证明，即可；（2）方法一：先以为原点，分别为轴，建立直角坐标系，写出各点坐标，，，，为中点，故，设点，利用平面得，据此可解出；方法二：作交于，注意到，故与相似，因此，于是得；（3）方法一：由于，即为平面的法向量，，，要求直线与平面所成角的正弦值，记直线与平面所成角为，根据直线与面的夹角正弦正好等于直线与面的法向量的夹角余弦的绝对值，则知，故只需计算即可，利用余弦公式有，故；方法二：由于，所以可以转而考虑与平面所成角，为此需要找到在平面内的投影，此投影与所成角即为线面夹角，然后求与平面所成角的正弦，于是在中作，而平面平面，由此平面，即为在平面内的投影，就等于直线与平面所成角， ，

在中，，，

故.

试题解析：（1）直二面角的平面角为，又，

则平面，所以．

又在平面四边形中，由已知数据易得，而，

故平面，因为平面，所以平面平面 （4分）

（2）解法一：由（1）的分析易知，，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示．

结合已知数据可得，，，，

则中点.

平面，故可设，

则，

平面，，

又，

由此解得，即，

易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； （8分）

解法二：（略解）如图所示，

在中作，交于，

因为平面平面，则有平面．

在中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得，

故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； ..（8分）

（3）解法一：由（2）是平面的一个法向量，又，

则得，所以，

记直线与平面所成角为，则知，

故所求角的正弦值为. ..（12分）

解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，由此，在中作于，易证平面，

连接，则为直线与平面所成角，

结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为. ..（12分）

考点：1、线面垂直、面面垂直的证法；2、线面角的求法；3、空间向量的应用.