Question

椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于两点（直线不与轴重合），为椭圆的左顶点，试证明：．

Answer

（1）；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）法一：由焦点坐标得，进而得到关系，设椭圆方程，带点求出；法二：用定义结合距离公式求，再求；法三：利用通径长公式得关系，再结合，求出；（2）设的方程为，与椭圆方程联立消去，得，于是由韦达定理有，法一：用坐标计算，结合韦达定理化简得，于是；法二：设弦的中点，根据韦达定理有，再由，用距离公式计算得，弦长公式计算，利用韦达定理化简得，由此有，因此.

试题解析：（1）法一：由题意，设椭圆方程为，

由已知则有，，联立解得；

法二：由结合距离公式直接求出，结合，求出；

法三：利用通径长公式可得，再结合，求出和，

故所求椭圆方程为； （4分）

（2）设直线的方程为：，

由得：，

因为点在椭圆内部，直线必与椭圆相交于两点，即恒成立，

设，则； （8分）

法一：则

，

将代入上式整理可得，

，则的大小必为定值； （12分）

法二：设弦的中点，则，，

所以，

而由弦长公式得，

由此则有，即，

则知点在以线段为直径的圆上，故，命题得证.

考点：1、椭圆方程的求法；2、直线与椭圆的关系；3、韦达定理；4、向量的数量积与几何意义；5、圆的性质.