Question

已知函数 的图像过坐标原点，且在点 处的切线斜率为.

(1) 求实数的值；

(2) 求函数在区间上的最小值；

(3) 若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据图像过原点得，又切线斜率等于切点处导数值，得，解出；（2）时，对求导以判断函数的单调性，得，

令则，令则或，

故在单调递减，在单调递增，在单调递减，为极小值点，，为极大值点，，，

比较极小值与区间端点处函数值，，得在上的最小值为0，当或1时取得；（3）设，利用横坐标的对称关系得出，由得，于是①，然后对以为分界点分类讨论方程①是否存在解，当时，都有，故方程①无解；当时，，代入①化简得，该方程判别式小于0，故方程无解；当时，代人①化简得，再考虑此方程是否有解，令，求导分析知是增函数，注意到，故的值域是，因此方程①对任意正实数恒有解；当时，由横坐标的对称性同理可得，方程①对任意正实数恒有解，综上可得点的横坐标的取值范围.

试题解析：（1）当时，，，

依题意，，

又，故；...............3分

（2）当时，，

令有，故在单调递减；在单调递增；

在单调递减．又,

所以当时，； 6分

（3）设，因为中点在轴上，所以，

又 ①，

（ⅰ）当时，，当时，．故①不成立 7分

（ⅱ）当时，代人①得：

，

无解； 8分

（ⅲ）当时，代人①得：

②，

设，则是增函数.

的值域是． 10分

所以对于任意给定的正实数，②恒有解，故满足条件．

（ⅳ）由横坐标的对称性同理可得，当时，

，代人①得：

③

设，令，则

由上面知的值域是的值域为.

所以对于任意给定的正实数，③恒有解，故满足条件. 12分

综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为..........14分

考点：1、导数与切线关系；2、函数单调性与最值；3、分类讨论的思想；4、函数与方程的思想.