Question

如图，已知圆E ，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

（1）求动点Q的轨迹的方程；

（2）点，，点G是轨迹上的一个动点，直线AG与直线相交于点D，试判断以线段BD为直径的圆与直线GF的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）点Q的轨迹的方程为为．（2）以线段BD为直径的圆与直线GF相切．

【解析】

试题分析：（1）连结QF，由于线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根据椭圆的定义知，动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．由此便可得其方程；（2）直线与圆的位置关系一般通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来确定． 由题意，设直线AG的方程为，则点D坐标为，由此可得圆心和半径.下面用k表示点G的坐标，求出直线GF方程为，进而求到圆心到直线GF的距离便可知道以BD为直径的圆与直线GF的位置关系．

（1）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，

则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，

故Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． .2分

设其方程为，可知，，则， ..3分

所以点Q的轨迹的方程为为． 4分

（2）以线段BD为直径的圆与直线GF相切． 5分

由题意，设直线AG的方程为，则点D坐标为，BD的中点H的坐标为．

联立方程组消去y得，

设，则，

所以，， 7分

当时，点G的坐标为，点D的坐标为.

直线GF⊥x轴，此时以BD为直径的圆与直线GF相切． 9分

当时，则直线GF的斜率为，则直线GF方程为，

点H到直线GF的距离，又，

所以圆心H到直线GF的距离，此时，以BD为直径的圆与直线GF相切．

综上所述，以线段BD为直径的圆与直线GF相切． 13分

考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的关系；3、最值问题.