Question

已知函数（）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）函数在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；

（3）若对任意恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）的单调增区间为，单调减区间为.（2）当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数没有零点；（3）

a的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）首先求导：，再根据导数的符号确定其单调性．时，函数单调递增；时，函数单调减；（2）首先分离参数.由，得.令（），下面就利用导数研究函数性质，然后结合图象便可得知的零点的个数；（3）要使得对任意恒成立，只需的最小值大于零即可. 由，则．当时，对，有，所以函数在区间上单调递增，又，即对恒成立．当时，由（1），单调递增区间为，单调递减区间为，若对任意恒成立，只需，显然不可能直接解这个不等式，下面利用导数来研究，看在什么条件下这个不等式能成立.令（），，即在区间上单调递减，又，故在上恒成立，也就是说当时，满足的a不存在．所以a的取值范围是．

（1）由，则．

由，得；由，得，

所以函数的单调增区间为，单调减区间为． 4分

（2）函数的定义域为，由，得（）， 5分

令（），则，

由于，，可知当，；当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，故． 6分

又由（1）知当时，对，有，即， .7分

（随着的增长，的增长速度越越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越越慢．则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.）

当时，函数有两个不同的零点；

当时，函数有且仅有一个零点；

当时，函数没有零点． 9分

（3）由，则．

①当时，对，有，所以函数在区间上单调递增，又，即对恒成立． 10分

②当时，由（1），单调递增区间为，单调递减区间为，

若对任意恒成立，只需， 11分

令（），，

即在区间上单调递减，又，故在上恒成立， 13分

故当时，满足的a不存在．

综上所述，a的取值范围是． 14分

考点：1、导数及其应用；2、函数的零点；3、导数与不等式.