Question

已知函数(,为自然对数的底数).

(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;

(2)求函数的极值;

(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.

Answer

(1）.；(2)当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值.；(3)的最大值为.

【解析】

试题分析：(1)由于曲线在点处的切线平行于轴，所以.求导解方程即可得的值.(2)由于函数中含参数，故需要分情况讨论.求导得：，分情况求出函数的单调区间即可得函数的极值；(3)当时，.直线:与曲线没有公共点等价于关于的方程在上没有实数解.一般地考虑分离参数.即变形为：

(*)在上没有实数解.当时，方程(*)可化为，在上没有实数解.当时，方程(*)化为.令，利用导数求出的取值范围即可得的取值范围.

试题解析：(1)由,得.

又曲线在点处的切线平行于轴,

得,即,解得.

(2),

①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.

②当时,令,得,.

,;,.

所以在上单调递减,在上单调递增,

故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.

综上,当时,函数无极小值;

当,在处取得极小值,无极大值.

(3)当时,.

直线:与曲线没有公共点,

等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:

(*)

在上没有实数解.

①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.

②当时,方程(*)化为.

令,则有.

令,得,

当变化时,的变化情况如下表:

当时,,同时当趋于时,趋于,

从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.

综上,得的最大值为.

考点：导数的应用.