Question

设等差数列{ }的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）设数列{ }满足，求{}的前n项和T_n；

（3）是否存在实数K，使得T_n恒成立.若有，求出K的最大值，若没有，说明理由.

Answer

（1）an=2n﹣1，n∈N*；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由于{an}是等差数列，故只需求出其首项a1和公差d即可得其通项公式.由S4=4S2，a2n=2an+1得方程组：，这个方程组中，看起来有3个未知数，但n抵消了(如果n不能抵消，则左右两边对应系数相等)，故实质上只有两个未知数.解这个方程组即可（也可以取n=2）.（2）首先求出{bn}的通项公式. 已知求，则.在本题中，由已知可得：当n≥2时，，显然，n=1时符合．由（1）得，an=2n﹣1，n∈N*．从而，n∈N*．这个数列用错位相消法便可求得其和．（3）Tn恒成立，则.为了求，需要研究的单调性，为了研究的单调性，需考查的符号.

试题解析：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，

解得a1=1，d=2．

∴an=2n﹣1，n∈N*．（2）由已知，得：

当n=1时，，

当n≥2时，，显然，n=1时符合．

∴，n∈N*，由（1）知，an=2n﹣1，n∈N*．∴，n∈N*．

又，∴，

两式相减得：

所以．

（3），

所以单调递增，

所以，

所以.

考点：1、等差数列与等比数列；2、数列的和；3、数列与不等式.