Question

如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．

（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；

（2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

Answer

（1）时,三棱锥的体积最大．（2）当时，．与平面所成角的大小．

【解析】

试题分析：（1）设，则．又，所以.由此易将三棱锥的体积表示为的函数，通过求函数的最值的方法可求得它的最大值.

（2）沿将△折起后，两两互相垂直，故可以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可找到点N的位置，并求得与平面所成角的大小．

试题解析：（1）解法1：在如图1所示的△中，设，则．

由，知，△为等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如图2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

，

当且仅当，即时，等号成立，

故当，即时,三棱锥的体积最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．

当时，；当时，．

所以当时，取得最大值．

故当时,三棱锥的体积最大．

（2）以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．

由（1）知，当三棱锥的体积最大时，，．

于是可得，，，，，，

且．

设，则.因为等价于，即

，故，.

所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．

设平面的一个法向量为，由及，

得可取．

设与平面所成角的大小为，则由，，可得

，即．

考点：1、棱锥的体积；2、空间直线与直线的垂直关系及直线与平面所成的角；3、空间向量.