Question

如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点，过、E、F作平面交于G．

(l)求证：EG∥；

(2)求二面角的余弦值；

(3)求正方体被平面所截得的几何体的体积．

Answer

(1)详见试题解析(2) (3)

【解析】

试题分析：（1）两平行平面都与第三个平面相交，则交线平行；

（2）以为原点分别以为轴，建立空间直角坐标系，平面的法向量为，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求二面角的余弦值．

（3）所求几何体是由正方体截去一个三棱台而得到， 所以，．

（1）证明：在正方体中，因为平面平面,

平面平面平面平面

（2）【解析】
如图，以为原点分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则有

设平面的法向量为则由和得

取得

又平面的法向量为

故

所以截面与底面所成二面角的余弦值为

（3）【解析】
设所截几何体的体积为

与相似，

故

考点：1、平面与平面平行的性质；2、空间直角坐标系；3、向量夹角公式；4、组合体的体积．