Question

如图,在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，ABAD，AD=2，AB=BC=l，E为AD中点．

（1）求证：PE平面ABCD：

（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值：

（3）求点A到平面PCD的距离.

Answer

（1）证明：在中，，为中点，.又侧面底面，平面平面，平面.平面；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可根据面面垂直的性质定理来证，已知侧面底面，并且相交于，而为等腰直角三角形，为中点，所以，即垂直于两个垂直平面的交线，且平面，所以平面；（2）连结，由题意可知是异面直线与所成的角，并且三角形是直角三角形，，，，由余弦定理得；（3）利用体积相等法可得解，设点到平面的距离，即由，得， 而在中，，所以，因此，又，，从而可得解.

（1）证明：在中，，为中点，. 2分

又侧面底面，平面平面，平面.

平面. 4分

（2）【解析】
连结，在直角梯形中，，，有且.所以四边形平行四边形，.由（1）知，为锐角，所以是异面直线与所成的角. 7分

，在中，..在中，

.在中，..

所以异面直线与所成的角的余弦值为. 9分

（3）【解析】
由（2）得.在中，，

， .

设点到平面的距离，由，得. 11分

又，解得. 13分

考点：1.线面垂直；2.异面直线角；3.点到面距离.