Question

已知是二次函数，不等式的解集是(0，5)，且在区间[-1，4]上的最大值是12．

（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在正整数m,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）方程，

设，则.

当时，，是减函数；当时，，是增函数.

因为.所以方程在区间，内分别有唯一实数根，而区间，内没有实数根.所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.

【解析】

试题分析：（1）由已知得0，5是二次函数的两个零点值，所以可设，开口方向向上，对称轴为，因此在区间上的最大值是，则，即，因此可求出函数的解析式；（2）由（1）得，构造函数，则方程的实数根转化为函数的零点，利用导数法得到函数减区间为、增区间为，又有，，，发现函数在区间，内分别有唯一零点，而在区间，内没有零点，所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.

（1）因为是二次函数，且的解集是，

所以可设 2分

所以在区间上的最大值是. 4分

由已知，得，.. 6分

（2）方程，

设，则. 10分

当时，，是减函数；

当时，，是增函数. 10分

因为.

所以方程在区间，内分别有唯一实数根，而区间，内没有实数根. 12分

所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. 14分

考点：1.函数解析式；2.函数零点.