Question

已知函数，等比数列的前n项和为，数列的前n项为，且前n项和满足．

（1）求数列和的通项公式：

（2）若数列前n项和为，问使的最小正整数n是多少？

Answer

（1），；（2）252.

【解析】

试题分析：（1）由已知得当时，，则等比数列的公比，又，解得，由等比数列通项公式可得所求数列的通项公式；由已知可先求出数列的通项公式，再求的通项公式，因为，且，所以是首项为1，公差为1的等差数列，则，即，从而，又，故数列的通项公式为；（2）由数列的通项公式可采用裂项求和法先求出前项和，从而可得，故满足条件的最小正整数是252.

（1）因为等比数列的前项和为，

则当时，.

因为是等比数列，所以的公比. 2分

，解得.. 4分

由题设知的首项，其前项和满足，

由，且.

所以是首项为1，公差为1的等差数列. 6分

，.，又.

故数列的通项公式为. 8分

（2）因为，所以. 10分

. 12分

要使，则.所以.

故满足条件的最小正整数是252. 14分

考点：1.数列通项公式；2.数列列前项和公式.