Question

已知函数.

（1）当a=l时，求的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；

（3）令，是否存在实数a，当(e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）存在实数.

【解析】

试题分析：（1）把代入函数解析式得，且定义域为，利用导数法可求出函数的单调区间，由，分别解不等式，，注意函数定义域，从而可求出函数的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数在上是减函数，则其导函数在上恒成立，又因为，所以函数，必有，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得，则，令，解得，通过对是否在区间上进行分类讨论，可求得当时，有，满足条件，从而可求出实数的值.

（1）当时，. 2分

因为函数的定义域为，

所以当时，，当时，.

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分

（2）在上恒成立.

令，有， 6分

得，. 8分

（3）假设存在实数，使有最小值3，

. 9分

当时，在上单调递减，

，（舍去）； 10分

②当时，在上单调递减，在上单调递增.

，解得，满足条件； 12分

③当时，在上单调递减，

，（舍去）. 13分

综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分

考点：1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.