Question

已知椭圆C：（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)A，B为椭圆C的左右顶点，直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，恒为定值．

Answer

（1），（2）1．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法.只需两个独立条件确定即可. 由b=1，可解得a=2，故椭圆的方程为，（2）证明椭圆定值问题，实际是以算代征.即需计算出为一个常数．由于点D在x轴上，所以,即只需计算E，F两点纵坐标. 由直线AP： 与直线l：x=2的交点得: ,即，同理可得，因此==1。

试题解析：（1）由题意可知，b=1，

又因为，且a2=b2+c2，解得a=2

所以椭圆的方程为 4

（2）由题意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．

设P（x0，y0），由题意可得：﹣2＜x0＜2，

所以直线AP的方程为 6

令，则，即 8

同理：直线BP的方程为，令，则，

即 10

所以

= 12

而，即4y02=4﹣x02，代入上式，

所以|DE|·|DF|=1，所以|DE|·|DF|为定值1． 14

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系