Question

已知数列{}的前n项和 (n为正整数)。

（1）令，求证数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式；

（2）令，试比较与的大小，并予以证明．

Answer

（1）（2）当，当时.

【解析】

试题分析：（1）已知，一般利用进行化简条件，当时，，，又数列是首项和公差均为1的等差数列，于是.（2）由（1）得，是等差乘等比型，所以其和求法为“错位相减法”， 即得.数列中比较大小，一般用作差，即,而比较的大小，有两个思路，一是数学归纳法，二是二项展开式定理.

试题解析：（1）在中，令n=1，可得，即 1

当时，， 2

.

又数列是首项和公差均为1的等差数列 4

于是 .6

(2)由（1）得，所以

由①-②得

9

2

于是确定的大小关系等价于比较的大小

猜想：当证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由猜想显然成立．

（2）假设时猜想成立．即

则时，

所以当时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时 14

考点：等差数列定义，错位相减法求和，数学归纳法证明不等式